Przypomnijmy, że liczby wymierne to liczby postaci p/q gdzie p i q są liczbami całkowitymi, q różne od zera. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego albo nieskończonego okresowego.

Definicja: Liczbę nazywamy  niewymierną, jeżeli nie jest ona wymierna, to znaczy nie jest w postaci p/q, oczywiście q różne od zera.

Twierdzenie: Liczba pierwiastek z 2 nie jest liczbą wymierną.

Dowód: Przypuśćmy, że pierwiastek z 2 = p/q, przy czym załóżmy, że ułamek ten jest nieskracalny, to znaczy liczby p i q nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.

W takim razie (pierwiastek z 2)² = (p/q)², skąd 2 = (p/q)² czyli 2q²=p².

Wykażemy, że taka równość nie może zachodzić dla żadnej pary liczb całkowitych. Jeśli p,q są liczbami parzystymi, to mają one wspólny dzielnik 2, więc ułamek p/q jest skracalny i tego przypadku nie rozważamy.

Jeżeli p jest nieparzyste, a q jest parzyste, to p² jest nieparzyste, natomiast 2q² jest parzyste, więc 2q² = p².

Jeżeli p i q jest nieparzyste, to podobnie jak poprzednio, p² jest nieparzyste, natomiast 2q² jest parzyste, więc 2q² = p². Jeśli wreszcie p jest parzyste, a q jest nieparzyste, to p² jest podzielne przez 4, zaś 2q² jest wprawdzie liczbą parzystą, ale nie podzielną przez 4, więc 2q² = p2.

Z powyższego twierdzenia wynika istnienie licz niewymiernych. Innymi przykładami liczb niewymiernych są pierwiastek z 3, 2 - pierwiastek  z 2, PI.

Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe, na przykład:

Pierwiastek z 2 = 1,414213562
PI = 3,1415925
Pierwiastek z 3 = 1,7320508

i nie ma takiej grupy cyfr, która w którymkolwiek z tych rozwinięć powtarzała się okresowo, poczynając od pewnego miejsca.